单招二次函数练习题(单招二次函数题)

例题1：已知抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $，求其顶点坐标。

解析：抛物线的顶点坐标公式为 $ left( -frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right) right) $。这里 $ a = 1 $，$ b = -4 $，所以顶点横坐标为 $ -frac{-4}{2 times 1} = 2 $。代入原式得 $ y = 2^2 - 4 times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 $。
因此，顶点坐标为 $ (2, -1) $。

例题2：若二次函数 $ y = -2x^2 + 8x - 6 $ 的图像与 x 轴交于两点，求其根。

解析：将方程 $ -2x^2 + 8x - 6 = 0 $ 化简为 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $。解得 $ x = [4 pm sqrt{16 - 12}]/2 = [4 pm 2]/2 $，即 $ x = 3 $ 或 $ x = 1 $。
因此，根为 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $。

例题3：某商品的销售利润为 $ P = -2x^2 + 10x + 12 $，其中 $ x $ 为销售数量，求最大利润。

解析：利润函数为 $ P = -2x^2 + 10x + 12 $，其最大值出现在顶点处。顶点横坐标为 $ x = -frac{b}{2a} = -frac{10}{2 times (-2)} = frac{10}{4} = 2.5 $。代入得 $ P = -2(2.5)^2 + 10 times 2.5 + 12 = -12.5 + 25 + 12 = 24.5 $。
因此，最大利润为 24.5 元。

例题4：已知二次函数 $ y = 3x^2 - 6x + 5 $，求其图像与 x 轴的交点。

解析：方程 $ 3x^2 - 6x + 5 = 0 $ 的判别式为 $ D = (-6)^2 - 4 times 3 times 5 = 36 - 60 = -24 $，小于 0，说明图像与 x 轴无交点。

例题5：某建筑公司建造一座抛物线形的拱桥，其高度为 10 米，跨度为 20 米，求其最大高度。

解析：设拱桥的形状为抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $，已知跨度为 20 米，即当 $ x = pm 10 $ 时，$ y = 10 $。设顶点在原点，即 $ c = 10 $，则方程为 $ y = ax^2 + 10 $。当 $ x = 0 $ 时，$ y = 10 $，所以 $ a = 0 $，这显然不符合实际情况。
因此，应设顶点在 $ (10, 10) $，即 $ y = -ax^2 + 10 $。代入 $ x = 10 $，得 $ 10 = -a(10)^2 + 10 $，解得 $ a = 0 $，仍然不符合。
因此，应设抛物线的顶点在 $ (10, 0) $，即 $ y = -ax^2 + 10 $，代入 $ x = 0 $，得 $ y = 10 $，所以 $ a = 0 $，同样不成立。
因此，需重新设定坐标系，以确保计算正确。

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